Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

楕円曲線ベースのSNARKsと異なり、STARKsはハッシュベースのSNARKsと見なすことができます。現在、STARKsの効率が低い主要な理由の一つは、実際のプログラムにおいて大多数の数値が小さいことです。例えば、forループ内のインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、メルクルツリーに基づく証明の安全性を確保するために、リード・ソロモン符号を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占有します。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを減らすことが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビットであり、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに比べて、バイナリフィールドはビットに直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

ゴルディロックス、ベイビーベア、マースン31などの近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものがあります:

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128域に基づいています；

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；

• 元のFRIおよびzk-STARKプロトコル、さらにSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さい体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進数体は、その安全性と実際の有用性を保証するために拡張体に完全に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張体に入る必要がなく、基本体の下で操作するだけで、小さい体で高い効率を実現します。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

バイナリフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際の問題が存在します：STARKsでトレース表現を計算する際に、使用するフィールドのサイズは多項式の次数より大きくなければなりません；STARKsでメルクルツリーのコミットメントを行う際には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された拡張後のサイズより大きくなければなりません。

Biniusは、これら2つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを2つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単一変数多項式の代わりに多変数(具体的には多線形)多項式を使用し、その値を"超立方体"(hypercubes)上で取得することで、全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形(square)として扱い、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコード効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常次の2つの部分を含みます:

• 情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOPおよびHyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式式の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールの一種で、証明者は特定の多項式をコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、および適用シーンを持っています。

具体的なニーズに応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は高効率な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されるPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワーバイナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に2つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。バイナリーフィールドは本質的に高度に効率的な算術演算をサポートしており、性能要件に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、バイナリーフィールドの構造は、簡略化された算術化プロセスをサポートし、すなわちバイナリーフィールド上で実行される演算はコンパクトで検証が容易な代数形式で表現できます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じて階層的な特性を十分に利用できることが、バイナリーフィールドをBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適したものにしています。

ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一で直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットに収まることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpで一般的な還元方法には、Barrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な還元方法には、AESで使用される特殊還元(、POLYVALで使用されるMontgomery還元)、そしてTower(における再帰還元)が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』では、バイナリーフィールドは加算と乗算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈で様々な方法で解釈することができます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見ることもできますし、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換(typecast)にすぎず、非常に興味深く有用な特性です。また、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化することができます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」という論文では、nビットのタワー型バイナリフィールド内で( mビットサブフィールド)に分解して行う乗算、平方、逆演算の計算の複雑さについて探求しています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

( 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、一連のコアチェックメカニズムを採用して、多項式と多変数セットの正確性を検証するために使用されています。これらのコアチェックには:

1. GateCheck: 検証された秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C)x,ω###=0を満たしていることを確認し、回路が正しく動作することを保証します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π)x((。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブル内にあるかどうかを検証します。つまり、f)Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck:2つの多変量セットが等しいかどうか、つまり{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈Hが等しいかどうかを確認します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある宣言された値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検査し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点での多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式の零点分布を確保するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の合計値が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = s であるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することにより、検証者の計算複雑度を低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を可能にし、ランダム数を導入することで、複数の合計検証インスタンスに対するバッチ処理を実現します。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、以下の3つの点で改善されています:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであり、かつ積が特定の値に等しいことを要求します。Biniusはこの値を1に特化することによって、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを軽減しました。

• ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積の値への拡張を許可します。

• 列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能はありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理できるようになります。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改良することにより、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改良は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

( 2.3 PIOP:新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルにおいて、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成し操作することができます。以下は2つの重要な方法です:

• Packing:この方法は、辞書順で隣接する位置の小さい方を通じて