Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong elip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên hash. Một trong những lý do chính khiến STARKs hiện nay kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 2 là 64bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu mới được phát hiện trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên về những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên quan trọng hơn để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng cần hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và phép tính FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi cải thiện đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, làm cho người xác minh có thể xác minh tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào tính mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + lĩnh vực nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và độ an toàn của nó. Đầu tiên, việc căn cứ vào cấu trúc số học của các tháp nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong lĩnh vực nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của mình (PIOP), đã chỉnh sửa kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên các lĩnh vực nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng chương trình cam kết đa thức trên lĩnh vực nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó đạt được hệ thống chứng minh hiệu quả trên lĩnh vực nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến các lĩnh vực lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Phép toán dựa trên các tháp của trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và tính toán hóa hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình tính toán hóa đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng khai thác đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn tiêu chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể nằm trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có sự tiện lợi của ánh xạ một-một. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ), và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào các phần bù trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong việc biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản sửa đổi của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ phù hợp với trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng nhận bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có lý trên hypercube Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa biến đa thức có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của giá trị của nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm của siêu khối và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó là 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề khác không của U trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức thông qua việc cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, đặc biệt là khi xử lý xác thực đa thức nhiều biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ tính năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận chuyển giao nhiều chiều mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ chính, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được suy diễn từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Packing: Phương pháp này thông qua việc sắp xếp từ điển theo vị trí liền kề nhỏ hơn.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
17 thích
Phần thưởng
17
8
Chia sẻ
Bình luận
0/400
MetaverseHermit
· 07-25 11:05
À cái này, dữ liệu nén cũng bị nén quá mức rồi.
Xem bản gốcTrả lời0
HallucinationGrower
· 07-23 22:02
Ai hiểu chứ, càng sửa càng lag.
Xem bản gốcTrả lời0
WalletAnxietyPatient
· 07-23 04:46
Anh em ơi, tôi đã nghiên cứu ba ngày mà vẫn không hiểu được Hàm băm.
Xem bản gốcTrả lời0
ContractFreelancer
· 07-23 04:46
Có chút phức tạp, hãy học cách vẽ hình tròn trước đã.
Xem bản gốcTrả lời0
LiquidityWitch
· 07-23 04:39
ah, đang chế biến một chút ma thuật đen với những starks này... cuối cùng thì có người đang đọc những cuốn cuộn cổ xưa thật sự
Xem bản gốcTrả lời0
LiquidationWatcher
· 07-23 04:37
cảm giác như việc hợp nhất eth năm 2022 lại diễn ra... hãy thận trọng mọi người ơi
Xem bản gốcTrả lời0
FlippedSignal
· 07-23 04:33
Mã hóa bít rộng thả bull啊
Xem bản gốcTrả lời0
NestedFox
· 07-23 04:22
Vấn đề hiệu suất kém này vẫn chưa được giải quyết.
Binius STARKs: Hệ thống chứng minh hiệu quả thế hệ mới dựa trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Khác với SNARKs dựa trên đường cong elip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên hash. Một trong những lý do chính khiến STARKs hiện nay kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 2 là 64bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn tồn tại nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu mới được phát hiện trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên về những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên quan trọng hơn để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng cần hoàn toàn dựa vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép tính Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và phép tính FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi cải thiện đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, làm cho người xác minh có thể xác minh tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn thông tin khác của đa thức. Các kế hoạch cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm vào tính mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + lĩnh vực nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và độ an toàn của nó. Đầu tiên, việc căn cứ vào cấu trúc số học của các tháp nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong lĩnh vực nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của mình (PIOP), đã chỉnh sửa kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên các lĩnh vực nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng chương trình cam kết đa thức trên lĩnh vực nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó đạt được hệ thống chứng minh hiệu quả trên lĩnh vực nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến các lĩnh vực lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Phép toán dựa trên các tháp của trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và tính toán hóa hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình tính toán hóa đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng khai thác đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn tiêu chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể nằm trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có sự tiện lợi của ánh xạ một-một. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ), và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào các phần bù trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong việc biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là việc chuyển đổi kiểu của chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân tách thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản sửa đổi của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ phù hợp với trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của các đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng nhận bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x, ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: xác minh giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có lý trên hypercube Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa biến đa thức có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của giá trị của nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm của siêu khối và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó là 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho 0: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho 0, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề khác không của U trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức thông qua việc cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, đặc biệt là khi xử lý xác thực đa thức nhiều biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ tính năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận chuyển giao nhiều chiều mới ------ áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ chính, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được suy diễn từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: